1. Complex numbers

Complex numbers

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• 허수(imaginary number): 제곱하여 음수가 되는 수, 2차 이상의 방정식의 근을 설명
  • \(z = x + jy\) or \(z = (x, y)\), \(j^{2} = -1\)
  • \(j\) : imaginary number, \(x\) : real part, \(y\) : imaginary part
    • \(x = \mathbf{Re}(z)\), \(y = \textbf{Im}(z)\)
  • if \(x = 0\), then \(z = jy\) is called pure imaginary
• for two complex numbers \(z_{1} = x_{1} + jy_{1}\) and \(z_{2} = x_{2} + jy_{2}\)
  • Addition
    • \(z_{1} + z_{2} = x_{1} + jy_{1} + x_{2} + jy_{2}\) \(= (x_{1} + x_{2}) + j(y_{1} + y_{2})\)
  • Subtraction
    • \(z_{1} - z_{2} = x_{1} + jy_{1} - (x_{2} + jy_{2})\) \(= (x_{1} - x_{2}) + j(y_{1} - y_{2})\)
  • Multiplication
    • \(z_{1} \times z_{2}\)
      \(= (x_{1} + jy_{1})(x_{2} + jy_{2})\)
      \(= x_{1}x_{2} + jx_{1}y_{2} + jy_{1}x_{2} + j^{2}y_{1}y_{2}\)
      \(= x_{1}x_{2} + (-y_{1}y_{2}) + j(x_{1}y_{2} + y_{1}x_{2})\)
  • Division
    • 아래의 식을 만족하는 \(A\), \(B\) 찾기
      • \(\) \(z = \frac{z_1}{z_2} = \frac{x_1 + jy_1}{x_2 + jy_2} \rightarrow A + jB\)
    • 분모의 실수화
      • \(\frac{x_1 + jy_1}{x_2 + jy_2} \times \frac{x_2 - jy_2}{x_2 - jy_2}\)
        \(= \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + j(x_2y_1 - x_1y_2)}{x_2^2 + y_2^2}\)
        \(= \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{x_2^2 + y_2^2} + j\frac{x_2y_1 - x_1y_2}{x_2^2 + y_2^2}\)

Complex plane

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• Geometric representation of complex numbers
  • Cartesian coordinate system
    • Horizontal \(x\)-axis ⟶ real axis
    • Vertical \(y\)-axis ⟶ imaginary axis
• Visualization for addition and subtraction: 벡터의 덧셈, 뺄셈과 일치
  • Addition: \(z_{1} + z_{2} \rightarrow (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})\)
  • Subtraction: \(z_{1} - z_{2} \rightarrow (x_{1} - x_{2}, y_{1} - y_{2})\)

Complex conjugate numbers

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• 켤레(conjugate) 복소수
  • 더했을 때와 곱했을 때 실수가 되게 하는 복소수 \(\bar{z}\)
  • \(z + \bar{z}\): 실수, \(z \times \bar{z}\): 실수
  • \(\) \(\bar{z} = x - jy\)
  • \(z\)* 로도 표기
    

Polar form of complex numbers

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• \(xy\)-coordinate ↔ Polar coordinate \(r\), \(\theta\)
  • \(x = r cos\ \theta\), \(y = r sin\ \theta\)
• 벡터 관점에서 \(r\)의 의미: 벡터 \((x, y)\)의 길이
• 복소 평면에서의 \(r\)
  • 원점에서 복소수 \(z\) 까지의 거리
  • 복소수 \(z\)의 절댓값 또는 크기
    • \(\) \(\left|z\right| = r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{z\bar{z}}\)
  • \(\left|z_{1} - z_{2}\right| \rightarrow\) \(z_{1}\)과 \(z_{2}\) 사이의 거리
• 벡터 관점에서의 \(\theta\)의 의미: 벡터 \((x, y)\)의 각도
• 복소 평면에서의 \(\theta\)
  • 양의 실수 측과 복소수 \(z\) 사이의 각도
    • Argument of \(z \rightarrow arg\ z = \theta = tan^{-1}(\frac{y}{x})\)
    • 만족하는 각도가 무수히 많음 (\(\theta = \theta + 2n\pi\))
    • Principal value \(Arg\ z\) (특정 범위로 한정한 고유한 값)
      • \(\) \(-\pi < Arg\ z \leq \pi\)
      • \(arg\ z = Arg\ z + 2n\pi\) (\(n\)은 모든 정수)

Triangle inequality

• 수의 대소 관계
  • 복소수의 대소 관계를 구분할 수 없으나, 복소수의 절댓값은 크기를 구분할 수 있다. ⟶ 삼각 부등식
• Triangle inequality (삼각 부등식)
  • \(\) \(\left|z_{1} + z_{2}\right| \leq \left|z_{1}\right| + \left|z_{2}\right|\)
  • Generalized triangle inequality: \(\left|z_{1} + z_{2} + \cdots + z_{n}\right| \leq \left|z_{1}\right| + \left|z_{2}\right| + \cdots + \left|z_{n}\right|\)

Euler’s formula

• Euler’s formula
  • Relationship between the trigonometric functions and the complex exponetial function
  • \(e^{j\theta} = cos\ \theta + j\ sin\ \theta\)
    • \(e^{-j\pi} = -1\)
• 오일러 공식을 이용한 복소수 표현
  • \(z = x + jy\)
    \(\rightarrow r\ cos\ \theta + jr\ sin\ \theta\)
    \(\rightarrow r \times (cos\ \theta + j\ sin\ \theta) = r \times e^{j\theta} = \left|z\right| \times e^{j(arg\ z)}\)

Multiplication and division in polar form

• Multiplication in polar form
  • \(z_{1} = r_{1}(cos\ \theta_{1} + j\ sin\ \theta_{1})\) and \(z_{2} = r_{2}(cos\ \theta_{2} + j\ sin\ \theta_{2})\)
  • \(z_{1}z_{2}\)
    \(= r_{1}r_{2}(cos\ \theta_{1} + j\ sin\ \theta_{1})(cos\ \theta_{2} + j\ sin\ \theta_{2})\)
    \(= r_{1}r_{2}(cos\ \theta_{1}cos\ \theta_{2} - sin\ \theta_{1}sin\ \theta_{2} + j(cos\ \theta_{1}sin\ \theta_{2} + sin\ \theta_{1}cos\ \theta_{2}))\)
    \(= r_{1}r_{2}(cos(\theta_{1} + \theta_{2}) + j\ sin(\theta_{1} + \theta_{2}))\)
  • \(\left|z_{1}z_{2}\right| = r_{1}r_{2} = \left|z_{1}\right|\left|z_{2}\right|\)
    \(arg(z_{1}z_{2}) = \theta_{1} + \theta_{2} = arg\ z_{1} + arg\ z_{2}\)
• Division in polar form
  • \(\left|\frac{z_{1}}{z_{2}}\right| = \frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{\left|z_{1}\right|}{\left|z_{2}\right|}\)
    \(arg(\frac{z_{1}}{z_{2}}) = \theta_{1} - \theta_{2} = arg\ z_{1} - arg\ z_{2}\)
• Multiplication and division in polar form(with Euler’s formula)
  • Multiplication
    • Polar: \(z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}(cos(\theta_{1} + \theta_{2}) + j\ sin(\theta_{1} + \theta_{2})) = r_{1}r_{2}e^{j(\theta_{1}+\theta_{2})}\)
    • Euler: \(z_{1}z_{2} = r_{1}e^{j\theta_{1}}r_{2}e^{j\theta_{2}} = r_{1}r_{2}e^{j\theta_{1}}e^{j\theta_{2}}\)
  • Division
    • Polar: \(\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}(cos(\theta_{1} - \theta_{2}) + j\ sin(\theta_{1} - \theta_{2})) = \frac{r_{1}}{r_{2}}e^{j(\theta_{1}-\theta_{2})}\)
    • Euler: \(\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}e^{j\theta_{1}}}{r_{2}e^{j\theta_{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} \cdot \frac{e^{j\theta_{1}}}{e^{j\theta_{2}}}\)

Roots

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• 3차 방정식 \(x^{3} = 1\)의 해
  • 인수분해 및 근의 공식 활용
    • \(\) \(x^{3} - 1 = (x-1)(x^{2}+x+1) = 0\ \rightarrow\ x = 1, \frac{-1 + \sqrt{3}j}{2}, \frac{-1 - \sqrt{3}j}{2}\)
  • 복소수의 polar form 활용
    • \(x^{3} = e^{j(0+2k\pi)}\) (\(r\) = 1)
      \(\rightarrow (x^{3})^{\frac{1}{3}} = (e^{j(0+2k\pi)})^{\frac{1}{3}}\)
      \(\rightarrow x = e^{j(0+\frac{2k\pi}{3})}\)
      \(\rightarrow k = 0, 1, 2\) 일 때, \(0\) ~ \(2\pi\)의 범위
    • \(k = 0\), \(e^{j0}\) = 1
      \(k = 1\), \(e^{j\frac{2\pi}{3}} = cos\frac{2\pi}{3} + j\ sin\frac{2\pi}{3} = \frac{-1 + \sqrt{3}j}{2}\)
      \(k = 2\), \(e^{j\frac{4\pi}{3}} = cos\frac{4\pi}{3} + j\ sin\frac{4\pi}{3} = \frac{-1 - \sqrt{3}j}{2}\)
• 미지수 \(w\)와 복소수 \(z\)에 대한 방정식의 해 \(w^{n} = z\)
  1. 미지수 \(w\)와 복소수 \(z\)를 polar form으로 표현
     \(w = R(cos\ \phi + j\ sin\ \phi) = Re^{j\phi}\)
     \(z = r(cos\ \theta + j\ sin\ \theta) = re^{j\theta}\)
  2. 방정식의 양변에 \(1/n\) 제곱
     \(w = z^{1/n}\)
     \(Re^{j\phi} = (re^{j\theta})^{1/n} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{\frac{j(\theta+2k\pi)}{n}}\)
  3. \(R\)과 \(\phi\) 정리
     \(R = \sqrt[n]{r}\)
     \(\phi = \frac{\theta+2k\pi}{n}\), (\(k\)는 정수)
• \(\sqrt[n]{1}\): \(n^{th}\) root of unity
  • \(n\)제곱하여 1이 되는 \(n\)개의 복소수
    • \(\) \(\sqrt[n]{1} = e^{j\frac{2k\pi}{n}} = cos\frac{2k\pi}{n} + j\ sin\frac{2k\pi}{n}\)
    • \(\) \(k = 0, 1,\ \cdots\ , n - 1\)
  • \(n\)이 \(360^{\circ}\)의 약수일 경우, 원을 \(n\)등분 하는 복소수들로 구성
  • \(k = 1\)일 때의 해를 \(\omega\)라 하면, \(\sqrt[n]{1} = 1, \omega, \omega^{2}, \cdots,\omega^{n-1}\)